已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R)。(1)若a=2,求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)求f(x)在[1,+∞)上的最小值。

已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R)。(1)若a=2,求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)求f(x)在[1,+∞)上的最小值。

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已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R)。
(1)若a=2,求证:f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(2)求f(x)在[1,+∞)上的最小值。
答案
解:(1)证明:当a=2时,f(x)=x2-2lnx,
当x∈(1,+∞)时,
故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数。
(2)
当a≤0时,f"(x)>0,
f(x)在[1,+∞)上单调递增,最小值为f(1)=1
若a>0,当时,f(x)单调递减;
时,f(x)单调递增,
,即0<a≤2时,f(x)在[1,+∞)上单调递增,
又f(1)=1,故函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为1
,即a>2时,f(x)在上单调递减;
上单调递增

故函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为
综上,当a≤2时,f(x)在[1,+∞)上的最小值为1;
当a>2时,f(x)在[1,+∞)上的最小值为
举一反三
已知函数f(x)=(x2-3x+3)·ex
(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在[-2,t]上为单调函数;
(Ⅱ)当t>-2时,判断f(-2)和f(t)的大小,并说明理由;
(Ⅲ)求证:当1<t<4时,关于x的方程:(t-1)2在区间[-2,t]上总有两个不同的解。
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已知函数
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)求证:当x>1时,f(x)>g(x);
(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),求证:f(x1)>f(2-x2)。

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若函数f(x)=x3+ax2+bx+c在区间[-1,0]上是单调递减函数,则a2+b2的最小值为(    )。
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设函数f(x)=p(x-)-2lnx,(p是实数,e为自然对数的底数),
(Ⅰ)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(Ⅱ)若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范围。
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设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R。
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1。
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