已知函数f（x）=（x2-3x+3）·ex， （Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数； （Ⅱ）当t＞-2时，判断f（-2）和f（t

题型：天津模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=（x²-3x+3）·e^x，
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（Ⅱ）当t＞-2时，判断f（-2）和f（t）的大小，并说明理由；
（Ⅲ）求证：当1＜t＜4时，关于x的方程：（t-1）²在区间[-2，t]上总有两个不同的解。

答案

（Ⅰ）解：因为f′（x）=（x²-3x+3）·e^x+（2x-3）·e^x=x（x-1）·e^x，
由f′（x）＞0x＞1或x＜0；由f′（x）＜00＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
要使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0；
（Ⅱ）解：f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，
∴f（x）在x=1处有极小值e，
又，
∴f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2），
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t）。
（Ⅲ）证明：∵f′（x）=e^x（x²-x），
又，
∴，
令，
从而问题转化为证明当1＜t＜4时，方程=0在（-2，t）上有两个解，
，
当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0），
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解。