已知函数，x∈（0，+∞），（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2。

题型：江西省高考真题难度：来源：

已知函数，x∈（0，+∞），
（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；
（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2。

答案

解：（1）当a=8时，，
求得，
于是当x∈时，f′（x）≥0；而当x∈时，f′（x）≤0，
即f（x）在中单调递增，而在中单调递减．
（2）对任意给定的a＞0，x＞0，由，
若令，则abx=8， ①
而， ②
（一）、先证f（x）＞1；因为，
又由，得，
所以


；
（二）、再证f（x）＜2；
由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b，则0＜b≤2，
（ⅰ）当a+b≥7，则a≥5，所以x≥a≥5，
因为，，
此时；
（ⅱ）当a+b＜7，③
由①得，，
因为，
所以， ④
同理得， ⑤
于是， ⑥
今证明， ⑦
因为，
只要证，即，
也即a+b＜7，据③，此为显然．