设函数f(x)=ex-e-x,(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围。

设函数f(x)=ex-e-x,(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围。

题型:高考真题难度:来源:
设函数f(x)=ex-e-x
(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;
(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围。
答案
解:(Ⅰ)f(x)的导数
由于
故f′(x)≥2,(当且仅当x=0时,等号成立)。
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax,

(ⅰ)若a≤2,当x>0时,
故g(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax;
(ⅱ)若a>2,方程g′(x)=0的正根为
此时,若,则g′(x)<0,故g(x)在该区间为减函数,
所以,时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾;
综上,满足条件的a的取值范围是(-∞,2]。
举一反三
设a≥0,f (x)=x-1-ln2x+2a ln x(x>0)。
(1)令F(x)=xf'(x),讨论F(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值;
(2)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2aln x+1。
题型:安徽省高考真题难度:| 查看答案
f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a<b,则必有

[     ]

A.af(b)≤bf(a)
B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤f(b)
D.bf(b)≤f(a)
题型:陕西省高考真题难度:| 查看答案
设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是

[     ]

A.
B.
C.
D.
题型:浙江省高考真题难度:| 查看答案
设f(x)=,对任意实数t,记
(Ⅰ)求函数y=f(x)-gt(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:
(ⅰ)当x>0时,f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立;
(ⅱ)有且仅有一个正实数x0,使得gx(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立.
题型:浙江省高考真题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ex-kx,x∈R。
(1)若k=e,试确定函数f(x)的单调区间;
(2)若k>0,且对于任意x∈R,f(|x|)>0恒成立,试确定实数k的取值范围;
(3)设函数F(x)=f(x)+f(-x),求证:F(1)F(2)…F(n)>(n∈N*)。
题型:福建省高考真题难度:| 查看答案
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