已知函数f(x)=x3-bx2+2x+a，x=2是f(x)的一个极值点，(Ⅰ)求b的值和f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)若当x∈[1，3]时，f(x)-a2＞恒成

题型：专项题难度：来源：

已知函数f(x)=x³-bx²+2x+a，x=2是f(x)的一个极值点，
(Ⅰ)求b的值和f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若当x∈[1，3]时，f(x)-a²＞恒成立，求a的取值范围．

答案

解：(Ⅰ)f′(x)=x²-2bx+2，
∵x=2是f(x)的一个极值点，
∴x=2是方程x²-2bx+2=0的一个根，解得，
令f′(x)＞0，则x²-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，
∴函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞，1)，(2，+∞)。
(Ⅱ)∵当x∈(1，2)时，f′(x)＜0，当x∈(2，3)时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(1，2)上单调递减，f(x)在(2，3)上单调递增，
∴f(2)是f(x)在区间[1，3]上的最小值，且f(2)=，
若当x∈[1，3]时，要使恒成立，
只需，
即，解得0＜a＜1。