已知函数f(x)=x3-ax2+bx（a，b∈R），（Ⅰ）若f′(0)=f′(2)=1，求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若b=a+2，且f(x)在区间（0，1）上

题型：0107 模拟题难度：来源：

已知函数f(x)=x³-ax²+bx（a，b∈R），
（Ⅰ）若f′(0)=f′(2)=1，求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）若b=a+2，且f(x)在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）因为，
由即得，
所以f(x)的解析式为。
（Ⅱ）若b=a+2，则，，
（1）当△≤0，即-1≤a≤2时，f′(x)≥0恒成立，那么f(x)在R上单调递增，
所以，当-1≤a≤2时，f(x)在区间（0，1）上单调递增；
（2）当△＞0，即a＞2或a＜-1时，因为的对称轴方程为x=a，
要使函数f(x)在区间（0，1）上单调递增，
需或，解得-2≤a＜-1或2＜a≤3；
综上：当a∈[-2，3]时，函数f(x)在区间（0，1）上单调递增。