如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2：y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A，直线x=t(0＜t＜1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D，（Ⅰ）写

题型：0103 模拟题难度：来源：

如图，已知曲线C₁：y=x³(x≥0)与曲线C₂：y=-2x³+3x(x≥0)交于点O、A，直线x=t(0＜t＜1)与曲线C₁、C₂分别相交于点B、D，
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t)；
（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值。

答案

解：（Ⅰ）由题意得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1），
f(t)=S_△ABD+S_△OBD=

|BD|·|1-0|=

|BD|=

(-3t³+3t)，
即f(t)=-

(t³-t)，(0＜t＜1)。
（Ⅱ）f＇(t)=-

t²+

，令f＇(t)=0，解得t=

，
当0＜t＜

时，f＇(t)＞0，从而f(t)在区间（0，

）上是增函数；
当

＜t＜1时，f＇(t)＜0，从而f(t)在区间（

，1）上是减函数；
所以当t=

时，f(t)有最大值为f(

。

举一反三

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a。
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。

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f（x）=ax³+

bx²（a≠0，a，b∈R）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行。
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若已知a>b，求函数f（x）在[b，a]上的最大值。

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已知f(x)=

x³-2x²+cx+4，g(x)=e^x-e^2-x+f(x)，
(1)若f(x)在x=1+

处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；
(2)如下图所示，若函数y=f(x)的图象在[a，b]上连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈(a，b)使得f′(c)=？[用含有a，b，f(a)，f(b)的表达方式直接回答，不需要写猜想过程]
(3)利用(2)证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4。

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已知函数f（x）=2x³+3（1-2a）x²+6a（a-1）x（a∈R）。
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=0有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围；
（3）是否存在这样的常数a∈（-∞，

]使得直线y=1与y=f（x）相切，如果存在，求出a，否则请说明理由。

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已知函数f(x)=x³+bx²-3x(b∈(-∞，0])，且函数f(x)在区间[1，+∞)上单调递增，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁、x₂，都有[f(x₁)-f(x₂)]≤c，求实数c的最小值；
(3)若过点M(2，m)(m≠2)，可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

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