f(x)=ax3+bx2(a≠0,a,b∈R)的图象在点(2,f(2))处的切线与x轴平行。(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若已知a>b,求函数
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f(x)=ax3+bx2(a≠0,a,b∈R)的图象在点(2,f(2))处的切线与x轴平行。(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若已知a>b,求函数
题型:模拟题
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来源:
f(x)=ax
3
+
bx
2
(a≠0,a,b∈R)的图象在点(2,f(2))处的切线与x轴平行。
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若已知a>b,求函数f(x)在[b,a]上的最大值。
答案
解:(1)
由题意知
∴
整理得b=-2a
∴
当a>0时,由f"(x)<0,得0<x<2,
∴f(x)的单调递减区间为(0,2);
当a<0时,由f"(x)<0,得x<0或x>2
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞)。
(2)∵a>b且b=-2a,
∴a>0,b<0
由f(x)=0得
①当0<a≤3时,
②当a>3时,
综上所述:当0<a≤3时,f (x)的最大值为0;当a>3时,f(x)的最大值为a
4
-3a
3
。
举一反三
已知f(x)=
x
3
-2x
2
+cx+4,g(x)=e
x
-e
2-x
+f(x),
(1)若f(x)在x=1+
处取得极值,试求c的值和f(x)的单调增区间;
(2)如下图所示,若函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续光滑,试猜想拉格朗日中值定理:即一定存在c∈(a,b)使得f′(c)=?[用含有a,b,f(a),f(b)的表达方式直接回答,不需要写猜想过程]
(3)利用(2)证明:函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4。
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已知函数f(x)=2x
3
+3(1-2a)x
2
+6a(a-1)x(a∈R)。
(1)求y=f(x)的单调区间;
(2)若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实数根,求实数a的取值范围;
(3)是否存在这样的常数a∈(-∞,
]使得直线y=1与y=f(x)相切,如果存在,求出a,否则请说明理由。
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已知函数f(x)=x
3
+bx
2
-3x(b∈(-∞,0]),且函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x
1
、x
2
,都有[f(x
1
)-f(x
2
)]≤c,求实数c的最小值;
(3)若过点M(2,m)(m≠2),可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
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已知函数f(x)=x
2
-4x+(2-a)lnx(a∈R,a≠0),
(1)当a=18时,求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[e,e
2
]上的最小值。
题型:模拟题
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已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax
2
+bx+c的图象如图,则f(x)的图象可能是
[ ]
A、
B、
C、
D、
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