解:f'(x)=3x(x-2a),令f'(x)=0,得x=0或x=2a . f(0)=1,f(2a)=-4a3+1 . (I)当a>0时,2a>0,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下 表:
x
| (-∞,0)
| 0
| (0,2a)
| 2a
| (2a,+∞)
| f'(x)
| +
| 0
| -
| 0
| +
| f(x)
| ↗
| 1![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019024141-45035.gif)
| ↘
| -4a3+1
| ↗
| ∴ 当a>0时,在x=0处,函数f(x)有极大值f(0)=1;在x=2a处,函数f(x)有极小值f(2a)=-4a3+1 . (II)在(0,2)上单调递减,∴ 2a≥2,即a≥1 . (III)依题意得 4a3≥f(x)min 4a3≥-4a3+1 8a3≥1 a≥ . |