方程x3-3x-m=0有且只有两个不同的实根,则实数m=______.

方程x3-3x-m=0有且只有两个不同的实根,则实数m=______.

题型:不详难度:来源:
方程x3-3x-m=0有且只有两个不同的实根,则实数m=______.
答案
方程x3-3x-m=0有且只有两个不同的实根等价于
函数f(x)=x3-3x和y=m有且只有两个不同的交点,
而f′(x)=3x2-3,令3x2-3=0可得x=±1,
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)=3x2-3>0,函数f(x)=x3-3x单调递增,
当x∈(-1,1)时,f′(x)=3x2-3<0,函数f(x)=x3-3x单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)=3x2-3>0,函数f(x)=x3-3x单调递增,
故函数f(x)=x3-3x在x=-1处取到极大值f(-1)=2,在x=1处取到极小值f(1)=-2,
故其图象如图所示:
可知m=±2
故答案为:±2
举一反三
设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f′(x)=
1
x
,g(x)=f(x)+f′(x).则g(x)的最小值是______.
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已知函数f(x)=x2-2x.
(Ⅰ)指出函数f(x)值域和单调减区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在(0,0)点处的切线方程;
(Ⅲ)求f(x-1)>0的解集.
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已知函数f(x)=
2ax-a2+1
x2+1
(x∈R),其中a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值.
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设函数f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1

(Ⅰ)当a=1时,过原点的直线与函数f(x)的图象相切于点P,求点P的坐标;
(Ⅱ)当0<a<
1
2
时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当a=
1
3
时,设函数g(x)=x2-2bx-
5
12
,若对于∀x1∈(0,e],∃x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围.(e是自然对数的底,e<


3
+1
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设定函数f(x)=
a
3
x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,+∞)无极值点,求a的取值范围.
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