(I)h(x)=lnx+x2-bx,且函数的定义域为(0,+∞) ∴依题知h′(x)=+2x-b≥0对(0,+∞)恒成立, ∴b≤+2x ∵x>0, ∴b≤2 (II)函数k(x)=g(x)-2f(x)-x2在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2lnx=a,在[1,3]上恰有两个相异实根. 令m(x)=x-2lnx, ∴m′(x)=1- ∴m(x)在[1,2]上单减,在(2,3]上单增, m(x)的最小值是2-2ln2 故2-2lnx<k<3-2ln3 (III)设点P(x1,y1)Q(x2,y2) 则PQ的中点R的横坐标 C1在点M处的切线的斜率为k1= C2在点N处的切线的斜率为k2=+b 假设C1点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则斜率相等 即ln= 设u=>1 则lnu=① 令r(u)=lnu- (u>1) 则r′(u)= ∵u>1,r′(u)>0 ∴r(u)单调递增, 故r(u)>r(1)=0,lnu>② ∵①与②矛盾, ∴假设不成立,故C1点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. |