如图为函数f(x)=x(0<x<1)的图象,其在点M(t,f(t))处的切线为l,l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q,点N(0,1),若△PQN的面积为b时的

如图为函数f(x)=x(0<x<1)的图象,其在点M(t,f(t))处的切线为l,l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q,点N(0,1),若△PQN的面积为b时的

题型:不详难度:来源:
如图为函数f(x)=


x
(0<x<1)的图象,其在点M(t,f(t))处的切线为l,l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q,点N(0,1),若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个,则b的取值范围为______.
答案
对函数求导可得,f(x)=
1
2


x

由题意可得M(t,


t
),切线的斜率k=f(t)=
1
2


t

过点M的切线方程为y-


t
=
1
2


t
(x-t)

则可得P(0,


t
2
)N(0,1)Q(2


t
-t,1)

S△PNQ=
1
2
PN•NQ=
1
2
(2


t
-t)(1-


t
2
)
l=


t
-t+
t


t
4
l
令g(t)=


t
-t+
t


t
4
(0<t<1)
g(t)=
3
8


t
+
1
2


t
-1=
3t-8


t
+4
8


t
=
(3


t
-2)(


t
-2)
8


t

函数g(t)在(0,
4
,9
)单调递增,在[
4
9
,1)
单调递减
由于g(1)=
1
4
g(
4
9
)=
8
27

△PQN的面积为b时的点M恰好有两个即g(t)在(0,1)上与y=b有两个交点
,根据函数的图象可知
1
4
<b<
8
27


故答案为:(
1
4
8
27
)
举一反三
已知向量


a
=(x,-1),


b
=(1,lnx),则f(x)=


a


b
的极小值为______.
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如图,函数F(x)=f(x)+
1
5
x2的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=______.
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已知函数f(x)=mx-
m
x
,g(x)=2lnx
(1)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当m=1时,证明方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根;
(3)若x∈(1,e]时,不等式f(x)-g(x)<2恒成立,求实数m的取值范围.
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曲线f(x)=xlnx在x=e处的切线方程为(  )
A.y=xB.y=x-eC.y=2x+eD.y=2x-e
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已知函数f(x)=
1
3
x3+
1
2
(b-1)x2+cx.
(1)当b=-3,c=3时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上递增,在(x1,x2)上递减,x2-x1>1,求证:b2>2(b+2c);
(3)在(2)的条件下,若t<x1,试比较t2+bt+c与x1的大小.
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