小明同学将直角三角板直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与抛物线分别相交于A、B两点．小明发现交点A、B两点的连线总经过一个固定点，则该点坐标为

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小明同学将直角三角板直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与抛物线

分别相交于A、B两点．小明发现交点A、B两点的连线总经过一个固定点，则该点坐标为．

答案

(0,-2)．

解析

试题分析：设A（-m，-

m²）（m＞0），B（n，-

n²）（n＞0），表示出直线AB解析式中b=-

mn，再利用勾股定理得出mn=4，进而得出直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．
设A（-m，-

m²）（m＞0），B（n，-

n²）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则

①×n+②×m得，（m+n）b=-

（m²n+mn²）=-

mn（m+n），
∴b=-

mn，
由前可知，OB²=n²+

n⁴，OA²=m²+

m⁴，AB²=（n+m）²+（-

m²+

n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+

n⁴+m²+

m⁴=（n+m）²+（-

m²+

n²）²，
化简，得mn=4．
∴b=-

×4=-2．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），

举一反三

如图，已知二次函数y=a（x²-6x+8）(a>0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若S_△ABC=8，则过A、B、C三点的圆是否与抛物线有第四个交点D？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．
（3）将△OAC沿直线AC翻折，点O的对应点为O＇．
①若O＇落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
②是否存在正整数a，使得点O＇落在△ABC的内部，若存在，求出整数a的值；若不存在，请说明理由．

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方程

的正数根的个数为（）

A．1个

B．2个

C．3

D．0

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在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y＝

（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的

？若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由．

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已知二次函数y=－x²+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程

的解为。

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如图，抛物线

的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3）点D在x轴正半轴上，且线段OD=OC
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由。

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