(Ⅰ)∵f′(x)=x2-2ax+(a2-1) ∵x=1为f(x)的极值点, ∴f′(1)=0,即a2-2a=0, ∴a=0或2;
(II)∵(1,f(1))是切点, ∴1+f(1)-3=0∴f(1)=2 即a2-a+b-=0 ∵切线方程x+y-3=0的斜率为-1, ∴f"(1)=-1,即a2-2a+1=0, ∴a=1,b= ∵f(x)=x3-x2+ ∴f"(x)=x2-2x,可知x=0和x=2是y=f(x)的两个极值点. ∵f(0)=,f(2)=,f(-2)=-4,f(4)=8 ∴y=f(x)在区间[-2,4]上的最大值为8.
(Ⅲ)因为函数f(x)在区间(-1,1)不单调,所以函数f′(x)在(-1,1)上存在零点. 而f"(x)=0的两根为a-1,a+1,相距2, ∴在区间(-1,1)上不可能有2个零点. 所以f′(-1)f′(1)<0 即:a2(a+2)(a-2)<0 ∵a2>0,∴(a+2)(a-2)<0,-2<a<2 又∵a≠0, ∴a∈(-2,0)∪(0,+2). |