(1)∵f′(x)=[x2+(6+2)x+b]ex, 又x=0是函数f(x)=(x2+bx)ex的一个极值点, ∴f′(x)=0,得b=0,故f(x)=x2ex(2分) (2)∵不等式f(x)>ax3在[,2]内有解,即x2ex>ax3在[,2]内有解, ∴a<在[,2]内有解,令g(x)=,x∈[,2], 则只要a<(g(x))max.(3分) ∵g′(x)==, ∴g(1)=e是该函数的最小值; ∵g()=2,g(2)=ex,g(2)>g(), ∴a的取值范围为(-∞,e2)(5分) (3)∵f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex ∴函数y=f(x)在x=an处的切线方程为y-ean=(+2an)ean(x-an) ∵切线与x轴的交点为(an-an+1,0), ∴0-ean=(+2an)ean[(an-an+1)-an] 化简得an=anan+1+2an+1.(7分) ∵a1=1,bn=+2,∴b1=3,=bn-2 ∴bn+1-2=1+2bn,整理得bn+1=2bn-1, 即bn+1-1=2(bn-1),∴{bn-1}是公比为2,首项为2的等比数列, ∴bn-1=(b1-1)2n-1,即bn=2n+1.(9分) 假设存在等差数列{cn}对n∈N*都有b1c1+b2c2++bncn=2n+1(2n-1)+n2+2n+2① 当n≥2时有b1c1+b2c2++bn-1cn-1=2n(2n-3)+n2+1② ①-②得bncn=2n(2n+1)+2n+1,即(2n+1)cn=2n(2n+1)+2n+1, ∴当n≥时有,cn=2n+1, 当n=1时,b1c1=9,而b1=3,∴c1=3也适合cn=2n+1. 故{cn}是首项为1,公差为2的等差数列. 即存在等差数列{cn}对n∈N*都有 b1c1+b2c2+…+bncn=2n+1(2n-1)+n2+2n+2.(13分) |