已知曲线y=1x与y=x2交于点P,过P点的两条切线与x轴分别交于A,B两点,则△ABP的面积为 ______.

已知曲线y=1x与y=x2交于点P,过P点的两条切线与x轴分别交于A,B两点,则△ABP的面积为 ______.

题型:不详难度:来源:
已知曲线y=
1
x
与y=x2
交于点P,过P点的两条切线与x轴分别交于A,B两点,则△ABP的面积为 ______.
答案
联立两曲线方程得





y=
1
x
y=x2
解得





x=1
y=1
,所以切点P的坐标为(1,1),
求出两曲线的导函数为y′=-
1
x2
和y′=2x,把x=1分别代入两个导函数得到过p点切线的斜率分别为:k1=-
1
12
=-1,k2=2×1=2
则两曲线在P点的切线方程分别为:y-1=-1(x-1)即x+y-2=0;y-1=2(x-1)即2x-y-1=0
因为A、B是两切线与x轴的交点,所以令y=0,得到A(2,0),B(
1
2
,0),
则s△ABP=
1
2
×|2-
1
2
|×1=
3
4

故答案为:
3
4
举一反三
已知函数f(x)=
a
x
+lnx(a∈R)
,当x=1时,函数y=f(x)取得极小值.
(1)求a的值;
(2)证明:若x∈(0,
1
2
)
,则f(x)>
3
2
-x
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计算:
lim
n→∞
2n2-n+1
1+3+…+(2n-1)
=______.
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无穷等比数列1,


2
2
1
2


2
4
,…各项的和等于(  )
A.2-


2
B.2+


2
C.


2
+1
D.


2
-1
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若曲线y=
1
3
x3+bx2+4x+c
上任意一点处的切线斜率恒为非负数,则b的取值范围为 ______.
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曲线y=x3在x0=0处的切线是否存在,若存在,求出切线的斜率和切线方程;若不存在,请说明理由.
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