已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R),当x=1时,函数y=f(x)取得极小值.(1)求a的值;(2)证明:若x∈(0,12),则f(x)>32-x.

已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R),当x=1时,函数y=f(x)取得极小值.(1)求a的值;(2)证明:若x∈(0,12),则f(x)>32-x.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
a
x
+lnx(a∈R)
,当x=1时,函数y=f(x)取得极小值.
(1)求a的值;
(2)证明:若x∈(0,
1
2
)
,则f(x)>
3
2
-x
答案
(1)函数的定义域为(0,+∞).
f′(x)=-
a
x2
+
1
x
=
x-a
x2

∵x=1时函数y=f(x)取得极小值,
∴f′(1)=0,得a=1.
当a=1时,在(0,1)内f′(x)<0,在(1,+∞)内f′(x)>0,
∴x=1是函数y=f(x)的极小值点.
故a=1.
(2)证明:f(x)
3
2
-x等价于:f(x)+x
3
2

令g(x)=f(x)+x,则g′(x)=
x-1
x2
+1=
x2+x-1
x2

令h(x)=x2+x-1,
∵h(0)=-1<0,h(
1
2
)=-
1
4
<0,
x∈(0,
1
2
)
时,h(x)<0,
∴g′(x)<0,
∴g(x)在(0,
1
2
)上单调递减.
∴g(x)>g(
1
2
)
,即g(x)>2-ln2+
1
2
=
3
2
+(1-ln2)
3
2

∴f(x)+x
3
2

故f(x)
3
2
-x
举一反三
计算:
lim
n→∞
2n2-n+1
1+3+…+(2n-1)
=______.
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无穷等比数列1,


2
2
1
2


2
4
,…各项的和等于(  )
A.2-


2
B.2+


2
C.


2
+1
D.


2
-1
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若曲线y=
1
3
x3+bx2+4x+c
上任意一点处的切线斜率恒为非负数,则b的取值范围为 ______.
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曲线y=x3在x0=0处的切线是否存在,若存在,求出切线的斜率和切线方程;若不存在,请说明理由.
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f(x)在R上满足f(x)=3f(2-x)-x2+10x-7,则曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程是(  )
A.y=-2x+1B.y=-2x+3C.y=2x-1D.y=2x-3
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