已知函数f(x)=ax2-ex(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数(e为自然对数的底数).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方
题型:红桥区二模难度:来源:
已知函数f(x)=ax2-ex(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数(e为自然对数的底数). (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求实数a的取值范围; (3)若当x≥0时,不等式f(x)≤-x-1恒成立,求实数a的最大值. |
答案
心理年龄(Ⅰ)由题意得,当a=1时,f(x)=x2-ex, ∴f′(x)=2x-ex,则切线的斜率为f′(0)=-1, ∵f(0)=-e0=-1, ∴所求的切线方程为:x+y+1=0; (Ⅱ)设g(x)=f′(x)=2ax-ex, 由题意得,x1,x2是方程g(x)=0(即2ax-ex=0)的两个实根, 则g′(x)=2a-ex, 当a≤0时,g′(x)<0,g(x)在定义域上递减,即方程g(x)=0不可能有两个实根, 当a>0时,由g′(x)=0,得x=ln2a, 当x∈(-∞,ln2a)时,g′(x)>0,则g(x)在(-∞,ln2a)上递增, 当x∈(ln2a,+∞)时,g′(x)<0,则g(x)在(-∞,ln2a)上递减, ∴gmax(x)=g(ln2a)=2aln2a-2a, ∵方程g(x)=0(即2ax-ex=0)有两个实根, ∴2aln2a-2a>0,解得2a>e即a>, (Ⅲ)设h(x)=ex-ax2-x-1,则由题意得h(x)=ex-ax2-x-1≥0在[0,+∞)恒成立, 则h′(x)=ex-2ax-1, 当a=0时,h′(x)≥0,h(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴h(x)≥h(0)=0,即ex≥1+x,当且仅当x=0时,等号成立, ∴h′(x)=ex-2ax-1≥1+x-2ax-1=x(1-2a), 当1-2a≥0时,即a≤,此时h′(x)≥0,h(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴h(x)≥h(0)=e0-0-1=0,即h(x)≥0, 因而a≤时,h(x)≥0, 下面证明a>时的情况: 由ex≥1+x得,e-x≥1-x,即x≥1-e-x, ∴h′(x)=ex-1-2ax≤ex-1-2a(1-e-x)=e-x(ex-1)(ex-2a) 当ex<2a时,即0<x<ln2a,则当x∈(0,ln2a)时,h′(x)<0,从而h(x)<0, 因此,对于x≥0,f(x)≤-x-1不恒成立, 综上所得,a的最大值为. |
举一反三
已知f(x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)lnx(x>0,a是常数),若对曲线y=f(x)上任意一点P(x0,y0)处的切线y=g(x),f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=(ax-2)ex在x=1处取得极值. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求函数f(x)在[m,m+1]上的最小值; (Ⅲ)求证:对任意x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤e. |
若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( ) |
已知f(x)=ax++3-2a(a,b∈R)的图象在点(1,f(1)处的切线与直线y=3x+1平行. (1)求a与b满足的关系式; (2)若a>0且f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=x2-alnx(a>0) (Ⅰ)若f(x)在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)求f(x)在区间[1,e]上的最小值. |
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