已知函数f（x）=12x2-alnx(a＞0)（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e

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已知函数f（x）=12x2-alnx(a＞0)（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e

题型：昌平区二模难度：来源：
已知函数f（x）=
1
2
x2-alnx(a＞0)
（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．
答案
（I）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x-
a
x
=
x2-a
x

由f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，则f′（2）=
4-a
2
=
3
2
，a=1…．（4分）
此时f（x）=
1
2
x2-lnx，f′（x）=
x2-1
x

令f′（x）=0得x=1
f（x）与f′（x）的情况如下：
举一反三
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x（0，1）1（1，+∞）
f′（x）-0+
f（x）↘
1
2
↗
曲线f(x)=x+
1
x
在x=
1
2
处的切线方程是______，在x=x0处的切线与直线y=x和y轴围成三角形的面积为______．
lim
x→1
x


x
-x
x-1
=______．
设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，首项是a1，若
lim
n→∞
Sn=
1
a1
，a1∈(0，


2
2
)，则公比q的取值范围是______．
设函数f（x）=ln（1+x）-
ax
x+1
（a∈R）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当a＞0时，若对任意的x≥0，恒有f （x）≥0，求实数a的取值范围；
（3）设x∈N且x＞2，试证明：lnx＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
x
．
已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t ）ex，（t∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）有三个极值点，求t的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．