已知曲线y=x3-6x2+11x-6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．
题型：不详难度：来源：
| 已知曲线y=x3-6x2+11x-6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值． |
答案
已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6，因此y"=3x2-12x+11
在曲线上任取一点P（x0，y0），则点P处切线的斜率是y"|x=x0=3x02-12x0+11
点P处切线方程是y=（3x02-12x0+11）（x-x0）+y0
设这切线与y轴的截距为r，则
r=（3x02-12x0+11）（-x0）+（x03-6x02+11x0-6）=-2x03+6x02-6
根据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值
因为r"=-6x02+12x0=-6x0（x0-2）
当0＜x0＜2时r"＞0，因此r是增函数，
故r在区间[0，2]的左端点x0=0处取到最小值，即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小
这个最小值是r最小值=-6 |
举一反三
设函数f（x）=lnx+ax2-（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f（x）同时具备如下的两个性质：
①对于任意实数x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，＜f()恒成立；
②对于任意实数x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，＞f()恒成立． |
设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-，其中b是与n无关的常数，且b≠-1．
（1）求an和an-1的关系式；
（2）写出用n和b表示an的表达式；
（3）当0＜b＜1时，求极限Sn． |
已知函数f（x）=-x．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行，求函数f（x）的单调区间；
（II）若对一切正数x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值集合． |
| 直线y=kx+b与曲线y=ax2+2+lnx相切于点P（1，4），则b的值为（ ） |
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