(Ⅰ)a=1时,f(x)=x3-x2-2x+1,f′(x)=x2-x-2,f(0)=1,f"(0)=-2, 所以切线方程为y-1=-2x,即2x+y-1=0.…3 (Ⅱ)∵f"(x)=x2-ax-2a2,令x2-ax-2a2=0得x=-a或x=2a. 于是f"(x)>0得x<-a或x>2a,f"(x)<0得-a<x<2a. 所以x=-a时,f(x)取得极大值f(-a)=a3+1; x=2a时,f(x)取得极小值f(2a)=-a3+1.…2 要使方程f(x)=0恰有三个不同的实根,则函数y=f(x)的极大值大于零,极小值小于零, 所以,解之得a>=.…2 (Ⅲ)要使f"(x)<x2-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立, 即x2-ax-2a2<x2-x+1,∴(1-a)x<2a2+1. ∵a∈(1,+∞), ∴1-a<0,于是x>对任意a∈(1,+∞)都成立,则x大于的最大值. ∵=-[2(a-1)++4]≤-(2+4), 当2(a-1)=,即a=1+时取等号. 故x>()max=-(4+2).…5 |