双曲线x2-y2=1的一条渐近线与曲线y=13x3+a相切，则a的值为（　　）A．2B．-23C．23D．±23

题型：张掖模拟难度：来源：

双曲线x²-y²=1的一条渐近线与曲线y=

1

3

x3+a相切，则a的值为（　　）

A．2

B．- 2 3

C． 2 3

D．± 2 3

答案

由于双曲线x²-y²=1的条渐近线方程为y=±x，设切点坐标为（m，

1

3

m3+a），
∵y′=x²，
由函数y=

1

3

x3+a在切点处的导数等于切线斜率可得 m²=1，m=±1．
当 m=1，切点坐标为（1，

1

3

+a），代入条渐近线方程为y=x 可得 

1

3

+a=1，a=

2

3

．
当 m=-1，切点坐标为（-1，-

1

3

+a），代入条渐近线方程为y=x 可得-

1

3

+a=-1，a=-

2

3

．
故选D．