若函数f（x）=x3+ax2+bx+c在R上有三个零点，且同时满足：①f（1）=0；②f（x）在x=0处取得极大值；③f（x）在区间（0，1）上是减函数．（Ⅰ）
题型：丽水一模难度：来源：
若函数f（x）=x3+ax2+bx+c在R上有三个零点，且同时满足：
①f（1）=0；
②f（x）在x=0处取得极大值；
③f（x）在区间（0，1）上是减函数．
（Ⅰ）当a=-2时，求y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若g（x）=1-x，且关于x的不等式f（x）≥g（x）的解集为[1，+∞），求实数a的取值范围． |
答案
由f（1）=0得：1+a+b+c=0，f"（x）=3x2+2ax+b．
因为f（x）在x=0处取得极大值，所以 f"（0）=0，即b=0．
因为f（x）在区间（0，1）上是减函数，则f"（1）≤0，所以 3+2a≤0，所以 a≤-．
（Ⅰ） 当a=-2时，f"（x）=3x2-4x，所以 f"（2）=4
由a=-2，b=0，1+a+b+c=0，所以 c=1
所以 f（x）=x3-2x2+1，则点（2，f（2））为（2，1），
所以切线方程为：y-1=4（x-2），即y=4x-7．
（Ⅱ） f（x）-g（x）=x3+ax2-1-a-1+x=x3+ax2+x-a-2，f（1）-g（1）=1+a+1-a-2=0 | | x3+ax2+x-a-2=(x-1)(x2+x+2)+a(x-1)(x+1) | | =(x-1)[x2+(1+a)x+(a+2)] |
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要使f（x）≥g（x）的解集为[1，+∞），必须x2+（1+a）x+（a+2）≥0恒成立
所以，△=（1+a）2-4（a+2）＜0（1），或 | | (1+a)2-4(a+2)≥0 | | -≤1 | | f(1)=2a+4≥0 |
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（2）
解得：（1）得1-2＜a＜1+2，解（2）得-2≤a≤1-2．
又∵a≤-，∴-2≤a≤-．
所以使不等式f（x）≥g（x）的解集为[1，+∞）的实数a的取值范围是[-2，-]． |
举一反三
| 已知曲线y=x3-6x2+11x-6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值． |
设函数f（x）=lnx+ax2-（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f（x）同时具备如下的两个性质：
①对于任意实数x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，＜f()恒成立；
②对于任意实数x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，＞f()恒成立． |
设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn与an的关系是Sn=-ban+1-，其中b是与n无关的常数，且b≠-1．
（1）求an和an-1的关系式；
（2）写出用n和b表示an的表达式；
（3）当0＜b＜1时，求极限Sn． |
已知函数f（x）=-x．
（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与X轴平行，求函数f（x）的单调区间；
（II）若对一切正数x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值集合． |
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