已知函数f（x）=x+ax（a≠0），过P（1，0）作f（x）图象的切线l．（1）当a=-2时，求出所有切线l的方程．（2）探求在a≠0的情况下，切线l的条数．

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x+

a

x

（a≠0），过P（1，0）作f（x）图象的切线l．
（1）当a=-2时，求出所有切线l的方程．
（2）探求在a≠0的情况下，切线l的条数．
（3）如果切线l有两条，切点分别为M₁（x₁，x₂），M₂（x₂，y₂），求g（a）=|M₁M₂|的解析式．

答案

（1）．当a=-2时，f（x）=x+

2

x

，所以P不在f（x）的图象上，设切点为M₀（x₀，y₀）
∵f′（x）=1+

2

x2

，∴f′（x₀）=1+

2

x 02

=k PM 0=

y0-0

x0-1

，
又y₀=x₀+

2

x0

，代入整理得：x₀²-4x₀+2=0，即x₀=2±

2

，
∴f′（x₀）=1+

2

x 02

=1+

1

3±2 2

∴切线l的方程：y=（1+

1

3±2 2

）（x-1）
（2）．f′（x）=1-

a

x2

只有当a=-1时，点P在f（x）的图象上，
∴只有当a=-1时，P可以是切点且l的方程：y=2x-2．
当P是不是切点时，设切点为M₀（x₀，y₀），x₀≠0，
∵f′（x）=1-

a

x2

，∴f′（x₀）=1-

a

x2

=k PM 0=

y0-0

x0-1

，
又y₀=x₀+

a

x0

，代入整理得：x₀²+2ax₀-a=0，，┉①
△=4a²+4a，经检验，x₀=1不满足方程．
当a＞0或a＜-1时，△＞0，切点有两个；
当-1＜a＜0时，△＜0，没有切点；
综上所述：
当-1＜a＜0时，没有切线l存在；
当a=-1时，只有一条切线l；
当a＞0或a＜-1时，有两条切线l存在
（3）由（2）问可知，当a＞0或a＜-1时，有两条切线l存在．
由①式可知：x₁，x₂满足方程x²+2ax-a=0，
即x₁+x₂=-2a，x₁x₂=-a
∵y₁=x₁+

a

x1

，y₂=x₂+

a

x2

∴g（a）=M₁M₂=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

(x1-x2)2[1+(1- a x1x2 )2]​

=

5(x1-x2)2​

=

5[(x1+x2)2-4x1x2]​

=2

5(a2+a)

∴g（a）=2

5(a2+a)

，a＞0或a＜-1