已知f(x)=(x3+bx2+cx+d)•ex,且f(0)=4-5b,x=1为f(x)的极值点,g(x)=(2x+2)•e-2x.(I)若f(x)在(2,+∞)
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已知f(x)=(x3+bx2+cx+d)•ex,且f(0)=4-5b,x=1为f(x)的极值点,g(x)=(2x+2)•e-2x. (I)若f(x)在(2,+∞)上递增,求b的取值范围; (II)对任意x1∈[0,1],存在x2使得f(x1)=g(x2)成立,求b的取值范围. |
答案
(I)由f(0)=4-5b得d=4-5b, 又f′(x)=[x3+(b+3)x2+(c+2b)x+c+d]ex ∵x=1为f(x)的极值点 ∴f′(1)=0 得c=b-4 f(x)=[x3+bx2+(b-4)x+4-5b]•ex, f′(x)=(x+b)(x2+3x-4)ex≥0,∀x∈(2,+∞)恒成立, b≥-2 (II)由g′(x)=e-2x(-4x-2)得,g(x)在(-∞,-)上递增,在(-,+∞)上递减. 故g(x)的值域为(-∞,e], f′(x)=(x+b)(x2+3x-4)ex=(x+b)(x+4)(x-1)ex ①当-b≥1即b≤-1时,f(x)在[0,1]上递增 所以f(x)的值域为[4-5b,1-3b] ∵对任意x1∈[0,1],存在x2使得f(x1)=g(x2)成立 ∴1-3b≤e 此时无解 ②当0≤-b≤1即-1≤b≤0时,f(x)在[0,-b]上递增,在[-b,1]上递减 ∴当x=-b时,f(x)有最大值为f(-b)=e-b(-b2-b+4) ∵对任意x1∈[0,1],存在x2使得f(x1)=g(x2)成立 ∴e-b(-b2-b+4)≤e 解得不存在b ③当b>0时 f(x)在[0,1]上递减 ∴f(x)的值域为[1-3b,4-5b] ∵对任意x1∈[0,1],存在x2使得f(x1)=g(x2)成立 ∴4-5b≤e 解得b≥- |
举一反三
曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) |
过点(0,-4)与曲线y=x3+x-2相切的直线方程是 ______. |
已知函数f(x)=x2-ax+ln(x+1)(a∈R). (1)当a=2时,求函数f(x)的极值点; (2)若函数f(x)在区间(0,1)上恒有f′(x)>x,求实数a的取值范围; (3)已知c1>0,且cn+1=f′(cn)(n=1,2,…),在(2)的条件下,证明数列{cn}是单调递增数列. |
函数f(x)=2ln3x+8x,则的值为 ______. |
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