已知函数f(x)=x2-ax+ln(x+1)(a∈R).(1)当a=2时,求函数f(x)的极值点;(2)若函数f(x)在区间(0,1)上恒有f′(x)>x,求实
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x2-ax+ln(x+1)(a∈R). (1)当a=2时,求函数f(x)的极值点; (2)若函数f(x)在区间(0,1)上恒有f′(x)>x,求实数a的取值范围; (3)已知c1>0,且cn+1=f′(cn)(n=1,2,…),在(2)的条件下,证明数列{cn}是单调递增数列. |
答案
(1)a=2时,fx)=x2-2x+ln(x+1),则f′(x)=2x-2+=, f′x)=0,x=±,且x>-1, 当x∈(-1,-)∪(,+∞)时f′x)>0,当x∈(-,)时,f′x)<0, 所以,函f(x)的极大值点x=-,极小值点x=. (2)因f′(x)=2x-a+,f′x)>x, 2x-a+>x, 即a<x+, y=x+=x+1+-1≥1(当且仅x=0时等号成立), ∴ymin=1.∴a≤1 (3)①当n=1时,c2=f′(x)=2c1-a+, 又∵函y=2x+当x>1时单调递增,c2-c1=c1-a+=c1+1+-(a+1)>2-(a+1)=1-a≥0, ∴c2>c1,即n=1时结论成立. ②假设n=k时,ck+1>ck,ck>0则n=k+1时, ck+1=f′(ck)=2ck-a+, ck+2-ck+1=ck+1-a+=ck+1+1+-(a+1)>2-(a+1)=1-a≥0, ck+2>ck+1,即n=k+1时结论成立.由①,②知数{cn}是单调递增数列. |
举一反三
函数f(x)=2ln3x+8x,则的值为 ______. |
如果过曲线y=x4-x上点P处的切线平行于直线y=3x+2,那么点P的坐标为( )A.(1,0) | B.(0,-1) | C.(0,1) | D.(-1,0) |
|
设函数f(x)=exμ(x), (I)若μ(x)=x2-x+2的极小值; (Ⅱ)若μ(x)=x2+ax-3-2a,设a>0,函数g(x)=(a2+14)ex+4,若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=,g(x)=alnxa∈R, (I)若曲线y=f(x)与y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,求a值及在该点处切线方程. (II)设h(x)=-alnx当h(x)≥0恒成立时求实数a的取值范围. |
最新试题
热门考点