(Ⅰ)f(x)=exμ(x)=(x2-x+2)ex,f′(x)=ex(x2-x-), 令f"(x)=0,得x=-或x=1. 由f"(x)>0,得x<-或x>1,此时函数递增. f"(x)<0,得-<x<1,此时函数递减. 所以当x=1时,函数取得极小值f(1)=e. (Ⅱ)f(x)=exμ(x)=(x2+ax-3-2a)ex,函数的导数为f"(x)=ex[x2+(a+2)-(3+a)]=ex(x-1)(x+3+a). 当a>0时,f(x)在区间(0,1)上的单调递减,在区间(1,4)上单调递增, ∴函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(1)=-(a+2)e. 又∵f(0)=-(2a+3)<0,f(4)=(2a+13)e4>0, ∴函数f(x)在区间[0,4]上的值域是[f(1),f(4)],即[-(a+2)e,(2a+13)e4](7分) 又g(x)=(a2+14)ex+4在区间[0,4]上是增函数, 且它在区间[0,4]上的值域是[(a2+14)e4,(a2+14)e8](9分) ∵(a2+14)e4-(2a+13)e4=(a2-2a+1)e4=(a-1)2e4≥0, ∴若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立,只需要(a2+14)e4-(2a+13)e4<1即可, 即(a-1)2e4<1,(a-1)2<,解得1-<a<1+,即a的取值范围(1-,1+). |