已知函数f(x)=x,g(x)=alnxa∈R,(I)若曲线y=f(x)与y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,求a值及在该点处切线方程.(II)设h(x)

已知函数f(x)=x,g(x)=alnxa∈R,(I)若曲线y=f(x)与y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,求a值及在该点处切线方程.(II)设h(x)

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=


x
,g(x)=alnxa∈R,
(I)若曲线y=f(x)与y=g(x)相交,且在交点处有共同的切线,求a值及在该点处切线方程.
(II)设h(x)=


x
-alnx
当h(x)≥0恒成立时求实数a的取值范围.
答案
(I)已知函数f(x)=


x
,g(x)=alnx,a∈R.
则:f′(x)=
1
2


x
,g′(x)=
a
x
(x>0),
由已知曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点处有相同的切线,)
故有


x
=alnx且
1
2


x
=
a
x

解得a=
e
2
,x=e2
∵两条曲线交点的坐标为(e2,e)切线的斜率为k=f′(e2)=
1
2e

所以切线的方程为y-e=
1
2e
(x-e2);
(II)由条件知h(x)=


x
-alnx(x>0),
∴h′(x)=
1
2


x
a
x
=


x
-2a
2x

(1)当a>0时,令h′(x)=0,解得x=4a2
所以当0<x<4a2时h′(x)<0,h(x)在(0,4a2)上递减;
当x>4a2时,h′(x)>0,h(x)在(0,4a2)上递增.
所以x>4a2是h(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,
且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点.
所以Φ(a)=h(4a2)=2a-aln4a2=2
(2)当a≤0时,h(x)=(1/2-2a)/2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最小值.
故h(x)的最小值Φ(a)的解析式为2a(1-ln2a)(a>o).
解不等式2a(1-ln2a)≥0得0<a≤
e
2

即为实数a的取值范围.
举一反三
函数f(x)=e-x+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,2]B.(-∞,2)C.(2,+∞)D.[2,+∞)
题型:南宁模拟难度:| 查看答案
x1x2(x1x2)是函数f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2-(2b2+1)ax,(a>0)
的两个极值点.
(1)若x1=-2,x2=1,求a,b的值;
(2)若x1≤x≤x2,且x2=a,不等式6f(x)+11a2≥0恒成立,求实数b的取值范围;
(3)若x12+x22=6+4b2,且b>0,设an=
4a
f′(n)+2a(b2+1)
,Tn为数列an的前n项和,求证:Tn<4.
题型:眉山一模难度:| 查看答案
曲线f(x)=x3-2在P0点处的切线平行于直线y=3x-1,则P0点的坐标为(  )
A.(1,0)B.(2,8)
C.(1,-1)和(-1,-3)D.(2,8)和(-1,-4)
题型:不详难度:| 查看答案
计算
lim
n→∞
(1-
3n
n+3
)
=______.
题型:上海难度:| 查看答案
在曲线y=-x3+3x-1的所有切线中,斜率为正整数的切线的条数是(  )
A.1条B.3条C.5条D.6条
题型:湖北模拟难度:| 查看答案
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