(1)∵函数f(x)=x3+x2-(2b2+1)ax,(a>0) ∴f"(x)=ax2+bx-(2b2+1)a(2分) 依题意x1=-2,x2=1是方程ax2+bx-(2b2+1)a=0的两根 则-=-1,-=-2 解之可得:a=b=(4分) (2)由(1)f"(x)=ax2+bx-(2b2+1)a>0得x>x1或x<x2 ∴f(x)在(x1,x2)上单调递减 ∴x1≤x≤x2时,f(x)≥f(x2)=f(a)(5分) 由题f"(a)=a3+ba-(2b2+1)a=0即a2=2b2-b+1(6分) 若x1≤x≤x2,且x2=a,不等式6f(x)+11a2≥0恒成立⇔6f(a)+11a2≥0(7分) ⇔2a4+3ba2-6(2b2+1)a2+11a2≥0⇔2a2+3b-12b2+5≥0⇔2(2b2-b+1)+3b-12b2+5≥0⇔8b2-b-7≤0⇔-≤b≤1 故实数b的取值范围为[-,1](9分) (3)依题意x1,x2是方程ax2+bx-(2b2+1)a=0的两根,则x1+x2=-,x1x2=- 而x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 ∴(-)2+2=6+4b2∴b2=4a2(10分) 又a>0,b>0, ∴b=2a而f"(n)=an2+bn-(2b2+1)a=an2+2an-(8a3+a) ∴an===(11分)
| Tn=++++++ | <4[++++++] | =4[(1-)+(-)+(-)++(-)+(-)+(-)] | =4(1-)<4(14分) |
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