已知f(x)=lnx,g(x)=13x3+12x2+mx+n,直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0)(1)求直线l的方程及g(x)的解析式;(
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已知f(x)=lnx,g(x)=13x3+12x2+mx+n,直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0)(1)求直线l的方程及g(x)的解析式;(
题型:不详
难度:
来源:
已知f(x)=lnx,g(x)=
1
3
x
3
+
1
2
x
2
+mx+n,直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0)
(1)求直线l的方程及g(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)-g′(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的值域.
答案
(1)直线l是函数f(x)=lnx在点(1,0)处的切线,故其斜率k=f′(1)=1,
所以直线l的方程为y=x-1.(2分)
又因为直线l与g(x)的图象相切,
所以
g(x)=
1
3
x
3
+
1
2
x
2
+mx+n
在点(1,0)的导函数值为1.
g(1)=0
g′(1)=1
⇒
m=-1
n=
1
6
所以
g(x)=
1
3
x
3
+
1
2
x
2
-x+
1
6
(6分)
(2)因为h(x)=f(x)-g′(x)=lnx-x
2
-x+1(x>0)(7分)
所以
h′(x)=
1
x
-2x-1=
1-2
x
2
-x
x
=-
(2x-1)(x+1)
x
(9分)
当
0<x<
1
2
时,h′(x)>0;当
x>
1
2
时,h′(x)<0(11分)
因此,当
x=
1
2
时,h(x)取得最大值
h(
1
2
)=
1
4
-ln2
(12分)
所以函数h(x)的值域是
(-∞,
1
4
-ln2]
.(13分)
举一反三
函数f(x)=e
x
在x=1处的切线方程是______.
题型:不详
难度:
|
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曲线y=e
x
(其中e=2.71828…)在x=1处的切线方程为( )
A.ex-y=0
B.ex-y-2e=0
C.ex-y+2e=0
D.ex-y-e=0
题型:广东模拟
难度:
|
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已知函数f(x)=x+
a
x
(a≠0),过P(1,0)作f(x)图象的切线l.
(1)当a=-2时,求出所有切线l的方程.
(2)探求在a≠0的情况下,切线l的条数.
(3)如果切线l有两条,切点分别为M
1
(x
1
,x
2
),M
2
(x
2
,y
2
),求g(a)=|M
1
M
2
|的解析式.
题型:不详
难度:
|
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已知数列
{
a
n
}中,
a
1
=
1
2
,
S
n
为数列的前n项和,且S
n
与
1
a
n
的一个等比中项为n(n∈
N
*
),则
lim
n→∞
S
n
=______.
题型:不详
难度:
|
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若曲线C:y=ln(x+a)(a是常数)经过原点O,则曲线C在O点的切线是( )
A.x=0
B.y=2x
C.y=x
D.y=
1
2
x
题型:不详
难度:
|
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