已知函数f(x)=13x3+ax2+bx,a,b∈R(1)曲线C:y=f(x)经过点P(1,2),且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1,求a,b的值.(
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已知函数f(x)=13x3+ax2+bx,a,b∈R(1)曲线C:y=f(x)经过点P(1,2),且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1,求a,b的值.(
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
1
3
x
3
+a
x
2
+bx,a,b∈R
(1)曲线C:y=f(x)经过点P(1,2),且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1,求a,b的值.
(2)已知f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点,求证:0<a+b<2.
答案
(1)由
f(x)=
1
3
x
3
+a
x
2
+bx
,得:f
′
(x)=x
2
+2ax+b
因为y=f(x)经过点P(1,2),所以有
1
3
×
1
3
+a×
1
2
+b=2
,即3a+3b-5=0 ②
又曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1,所以f
′
(1)=2a+b+1=2,即2a+b-1=0 ①
联立①②得:
a=-
2
3
,b=
7
3
;
(2)因为函数f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点,所以导函数对应的二次方程x
2
+2ax+b=0在(1,2)
上有两个不等实数根,则
△=(2a
)
2
-4b>0
-2<a<-1
1+2a+b>0
4+4a+b>0
把
-2<a<-1
1+2a+b>0
相加得a+b>0,
由△>0得b<a
2
,
则
a+b<a+
a
2
=(a+
1
2
)
2
-
1
4
<2
,则结论得证.
举一反三
已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常数.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线l的方程;
(Ⅱ)证明:函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方;
(Ⅲ)讨论函数y=f(x)零点的个数.
题型:不详
难度:
|
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函数y=lnx在x=1处的切线方程为( )
A.x-y+1=0
B.x-y-1=0
C.x+y+1=0
D.x+y-1=0
题型:不详
难度:
|
查看答案
lim
n→∞
1+a+
a
2
+
a
3
+…+
a
n-1
1+b+
b
2
+
b
3
+…+
b
n-1
(1<|a|<|b|)
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知三次函数f(x)=ax
3
-x
2
+x在(0,+∞)存在极大值点,则a的范围是( )
A.
(0,
1
3
)
B.
(0,
1
3
]
C.
(-∞,
1
3
)
D.
(-∞,0)∪(0,
1
3
)
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
4
3
x
3
+a
x
2
+x
在R上不存在极值点,则a的取值范围是______.
题型:安徽模拟
难度:
|
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