(1)∵f′(x)=2x-,∴f"(1)=2-a=0,∴a=2.…(2分) ∴g(x)=x-2.由g′(x)=1->0,得x>1; 由g′(x)=1-<0,得0<x<1. ∴g(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).…(4分) (2)∵1<x<e2, ∴0<lnx<2, ∴2-lnx>0. 欲证x<,只需证明2x-xlnx<2+lnx, 即只需证lnx>. 记F(x)=lnx-, 则F′(x)=. 当x>1时,F"(x)>0, ∴F(x)在(1,+∞)上是增函数. ∴F(x)>F(1)=0, ∴F(x)>0,即lnx->0. ∴lnx>.故结论成立. …(8分) (3)由题意知C1:h(x)=x-2+6. 问题转化为G(x)=x2-2lnx-(x-2+6)=0在(0,+∞)上解的个数.…(10分) G′(x)=2x-2-1+==. 由G"(x)>0,得x>1;由G"(x)<0,得0<x<1. ∴G(x)在区间(1,+∞)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减. 又G(1)=-4<0,所以G(x)=x2-2lnx-(x-2+6)=0 在(0,+∞)上有2个解. 即C1与f(x)对应曲线C2的交点个数是2.…(14分) |