已知函数f(x)=ax+blnx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-2=0.(I)用a表示b,c;(II)若函数g(x)=x-f(x)

已知函数f(x)=ax+blnx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-2=0.(I)用a表示b,c;(II)若函数g(x)=x-f(x)

题型:绵阳三模难度:来源:
已知函数f(x)=
a
x
+blnx+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-2=0.
(I)用a表示b,c;
(II)若函数g(x)=x-f(x)在x∈(0,1]上的最大值为2,求实数a的取值范围.
答案
(I)求导函数可得f′(x)=-
a
x2
+
b
x
(a>0),
∵函数在点(1,f(1))处的切线方程为x-y-2=0,
∴f′(1)=1,∴-a+b=1.
∴b=a+1.
又切点(1,a+c)在直线x-y-2=0上,得1-(a+c)-2=0,解得c=-a-1.   …(4分)
(II)g(x)=x-
a
x
-blnx-c=x-
a
x
-(a+1)lnx+a+1,
∴g′(x)=1+
a
x2
-
a+1
x
=
(x-1)(x-a)
x2

令g′(x)=0,得x=1,或x=a.…(8分)
i)当a≥1时,由0<x≤1知,g′(x)≥0,∴g(x)在(0,1]上递增.
∴g(x)max=g(1)=2.
于是a≥1符合条件. …(10分)
ii)当0<a<1时,
∵当0<x<a时,g′(x)>0;a<x<1时,g′(x)<0,
∴g(x)在(0,a)上递增,g(x)在(a,1)上递减.
∴g(x)max=g(a)>g(1)=2,与题意矛盾.
∴0<a<1不符合题意.
综上知,实数a的取值范围为[1,+∞).…(12分)
举一反三
如果
lim
n→+∞
3n
3n+1+(a+1)n
=
1
3
,则实数a的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx,g(x)=
1
2
ax2+bx
,记h(x)=f(x)-g(x).
(1)若a=0,且h(x)<0在(0,+∞)上恒成立,求实数b的取值范围;
(2)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(3)若a≠0,设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,请判断C1在点M处的切线与C2在点N处的切线能否平行,并说明你的理由.
题型:不详难度:| 查看答案
记二项式(1+2x)n展开式的各系数为an,其二项式系数为bn,则
lim
n→∞
bn-an
bn+an
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
lim
n→∞
3n-5n+1
3n+1+5n-2
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知定义在(0,+∞)上的两个函数f(x)=x2-alnx,g(x)=x-a


x
,且f(x)在x=1
处取得极值.
(1)求a的值及函数g(x)的单调区间;
(2)求证:当1<x<e2时,恒有x<
2+lnx
2-lnx
成立.
(3)把g(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线C1,求C1与f(x)对应曲线C2的交点个数,并说明理由.
题型:宜宾一模难度:| 查看答案
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