已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).(Ⅰ)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)
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已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R). (Ⅰ)若函数f(x)过点(-1,2)且在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0,求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤t,求实数t的最小值; (Ⅲ)当-1≤x≤1时,|f′(x)|≤1,试求a的最大值,并求a取得最大值时f(x)的表达式. |
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)过点(-1,2), ∴f(-1)=-a+b-c=2,① 又f"(x)=3ax2+2bx+c,函数f(x)点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0, ∴, ∴,② 由①和②解得a=1,b=0,c=-3,故f(x)=x3-3x; (Ⅱ)由(Ⅰ)f"(x)=3x2-3, 令f"(x)=0,解得x=±1, ∵f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2, ∴在区间[-3,2]上fmax(x)=2,fmin(x)=-18, ∴对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1,x2,|f(x1)-f(x2)|≤20, ∴t≥20,从而t的最小值为20; (Ⅲ)∵f"(x)=3ax2+2bx+c, 则 | f′(0)=c | f′(-1)=3a-2b+c | f′(1)=3a+2b+c |
| | ,可得6a=f"(-1)+f"(1)-2f"(0). ∵当-1≤x≤1时,|f"(x)|≤1, ∴|f"(-1)|≤1,|f"(0)|≤1,|f"(1)|≤1, ∴6|a|=|f"(-1)+f"(1)-2f"(0)|≤|f"(-1)|+|f"(1)|+2|f"(0)|≤4, ∴a≤,故a的最大值为, 当a=时, | |f′(0)|=|c|=1 | |f′(-1)|=|2-2b+c|=1 | |f′(1)|=|2+2b+c|=1 |
| | ,解得b=0,c=-1, ∴a取得最大值时f(x)=x3-x. |
举一反三
曲线y=x3-1在x=1处的切线方程为( )A.y=2x-2 | B.y=3x-3 | C.y=1 | D.x=1 |
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设函数f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1)求导数f′(x); 并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2. |
三次函数y=x3-x2-ax+b在(0,1)处的切线方程为y=2x+1,则a+b=______. |
已知f(x)=x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( )A.y=2x-1 | B.y=-6x+7 | C.y=3x-2 | D.y=2x-3 |
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已知曲线y=1-x2上一点P(,),则过点P的切线的倾斜角为( ) |
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