(I)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=b=时,f(x)=lnx-x2-x,f′(x)=-x-=(2′) 令f"(x)=0,解得x=1.(∵x>0) 因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0,当0<x<1时,f"(x)>0,此时f(x)单调递增; 当x>1时,f"(x)<0,此时f(x)单调递减. 所以f(x)的极大值为f(1)=-,此即为最大值…(4分) (II)F(x)=lnx+,x∈(0,3],则有k=F′(x0)=≤,在x0∈(0,3]上恒成立, 所以a≥(-+x0)max,x0∈(0,3], 当x0=1时,-+x0取得最大值, 所以a≥…(8分) (III)因为方程2mf(x)=x2有唯一实数解,所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解, 设g(x)=x2-2mlnx-2mx,则g′(x)=. 令g"(x)=0,x2-mx-m=0.因为m>0,x>0, 所以x1=<0(舍去),x2=, 当x∈(0,x2)时,g"(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减, 当x∈(x2,+∞)时,g"(x)>0,g(x)在(x2,+∞)单调递增 当x=x2时,g"(x2)=0,g(x)取最小值g(x2).(12′) 则既 所以2mlnx2+mx2-m=0,因为m>0,所以2lnx2+x2-1=0(*) 设函数h(x)=2lnx+x-1,因为当x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解. 因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,即=1,解得m=.…(12分) |