已知函数f(x)=13x3+x2-3x+m的图象恰好与x轴只有一个交点,则m的取值范围是______.

已知函数f(x)=13x3+x2-3x+m的图象恰好与x轴只有一个交点,则m的取值范围是______.

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已知函数f(x)=
1
3
x3+x2-3x+m
的图象恰好与x轴只有一个交点,则m的取值范围是______.
答案
函数的导数为f"(x)=x2+2x-3,由f"(x)=x2+2x-3=0得,x=1或x=-3.
当x>1或x<-3时,f"(x)>0.函数递增.
当-3<x<1时,f"(x)<0,函数递减,
所以当x=-3时,函数取得极大值f(-3)=9+m.当x=1时,函数取得极小值f(1)=m-
5
3

要使函数f(x)=
1
3
x3+x2-3x+m
的图象恰好与x轴只有一个交点,则极大值f(-3)=9+m<0或极小值f(1)=m-
5
3
>0,
即m<-9或m>
5
3

故答案为:m<-9或m>
5
3
举一反三
若过点(0,0)的直线L与曲线y=x3-3x2+2x相切,则直线L的方程为______.
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已知曲线C:f(x)=x+
a
x
(a>0),直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为A,B.再过点P作曲线C的切线,分别与直线l和y轴相交于点M,N,O是坐标原点.则△OMN与△ABP的面积之比为______.
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函数f(x)=x3(x-1)的极值点的个数是(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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曲线y=
x+1
x-1
在点(3,2)处的切线方程是(  )
A.2x-y-4=0B.x-2y+1=0C.x+2y-7=0D.2x+y-8=0
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求曲线y=
ex
x+1
在点(1,
e
2
)
处的切线方程______.
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