已知曲线C:f(x)=x+ax(a>0),直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为A,B.再过点P作曲线C的切线,分别
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已知曲线C:f(x)=x+ax(a>0),直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为A,B.再过点P作曲线C的切线,分别
题型:不详
难度:
来源:
已知曲线C:f(x)=x+
a
x
(a>0),直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为A,B.再过点P作曲线C的切线,分别与直线l和y轴相交于点M,N,O是坐标原点.则△OMN与△ABP的面积之比为______.
答案
由题意设点P(x
0
,x
0
+
a
x
0
),则B(0,x
0
+
a
x
0
),
又与直线l垂直的直线向斜率为-1,故方程为y-(x
0
+
a
x
0
)=-(x-x
0
)
和方程y=x联立可得x=y=x
0
+
a
2
x
0
,故点A(x
0
+
a
2
x
0
,x
0
+
a
2
x
0
),
故△ABP的面积S=
1
2
|x
0
||x
0
+
a
2
x
0
-(x
0
+
a
x
0
)|
=
1
2
|x
0
||
a
2
x
0
|=
1
4
a,解得a=2,
又因为f(x)=x+
a
x
,所以f′(x)=1-
a
x
2
,故切线率为k=1-
a
x
20
,
故切线的方程为y-(x
0
+
a
x
0
)=(1-
a
x
20
)(x-x
0
),
令x=0,可得y=
2a
x
0
,故点N(0,
2a
x
0
),
联立方程y=x可解得x=y=2x
0
,即点M(2x
0
,2x
0
),
故△OMN的面积为
1
2
•|
2a
x
0
||2x
0
|=2a,
则△OMN与△ABP的面积之比为 8.
故答案为:8.
举一反三
函数f(x)=x
3
(x-1)的极值点的个数是( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
题型:不详
难度:
|
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曲线y=
x+1
x-1
在点(3,2)处的切线方程是( )
A.2x-y-4=0
B.x-2y+1=0
C.x+2y-7=0
D.2x+y-8=0
题型:不详
难度:
|
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求曲线
y=
e
x
x+1
在点
(1,
e
2
)
处的切线方程______.
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx(a∈R),已知曲线y=f(x)在点M(-1,f(-1))处的切线方程是y=4x+3.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[m,1]上的最大值.
题型:不详
难度:
|
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设f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),f(x)图象的一条对称轴是
x=
π
8
.
(1)求φ的值;
(2)证明:对任意实数c,直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.
题型:不详
难度:
|
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