已知函数f(x)=xe-x(x∈R).(1)求函数f(x)在x=1的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间和极值.
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已知函数f(x)=xe-x(x∈R). (1)求函数f(x)在x=1的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间和极值. |
答案
(1)∵f(x)=xe-x,∴f′(x)=x(e-x)′+x′e-x=e-x(-x+1) ∴f′(1)=0,f(1)= 即函数f(x)图象在x=1处的切线斜率为0 ∴图象在x=1处的切线方程为y= (2)求导函数,f′(x)=(1-x)e-x,令f′(x)=0,解得x=1 由f′(x)>0,可得x<1;由f′(x)<0,可得x>1 ∴函数在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数 ∴函数在x=1时取得极大值f(1)=. |
举一反三
设函数f(x)=lnx-ax2-bx. (Ⅰ)当a=b=时,求f(x)的最大值; (Ⅱ)令F(x)=f(x)+ax2+bx+,(0<x≤3),其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立,求实数a的取值范围; (Ⅲ)当a=0,b=-1,方程2mf(x)=x2有唯一实数解,求正数m的值. |
曲线y=2x-lnx在点(1,2)处的切线方程为( )A.y=-x-1 | B.y=-x+3 | C.y=x+1 | D.y=x-1 |
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曲线y=x2+在点(-1,1)处的切线方程为( )A.x-y=0 | B.x+y=0 | C.x+y-2=0 | D.x-y-2=0 |
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