已知抛物线y=-x2+2引抛物线的切线l,使l与两坐标轴在第一象限围成三角形的面积最小,求l的方程.

已知抛物线y=-x2+2引抛物线的切线l,使l与两坐标轴在第一象限围成三角形的面积最小,求l的方程.

题型:不详难度:来源:
已知抛物线y=-x2+2引抛物线的切线l,使l与两坐标轴在第一象限围成三角形的面积最小,求l的方程.
答案
设切点P(x0,-x02+2)(x0>0),
由y=-x2+2得y′=-2x,
∴k1=-2x0
∴l的方程为y-(-x02+2)=-2x0(x-x0).(4分)
令y=0,得x=
x02+2
2x0

令x=0,得y=x02+2,
∴三角形的面积为
S=
1
2
x02+2
2x0
•(x02+2)=
x04+4x02+4
4x0

S=
(3x02-2)(x02+2)
4x02

令S′=0,得x0=


6
3
(∵x0>0),
∴当0<x0


6
3
时,S′<0;
当x0


6
3
时,S′>0.
x0=


6
3
时,S取极小值.
∵只有一个极值,
∴x=


6
3
时S最小,此时k1=-
2


6
3
,切点为(


6
3
4
3
).
∴l的方程为y-
4
3
=-
2


6
3
(x-


6
3
),
即2


6
x+3y-8=0
举一反三
曲线f(x)=xlnx+2x在点(1,f(1))处的切线方程是(  )
A.3x-y-1=0B.3x-y+1=0C.3x+y-1=0D.3x-y-5=0
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求曲线y=2x-
1
x
+1在x=1处的切线方程
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已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n)•3n
(Ⅰ)求
lim
n→∞
an
Sn
;(Ⅱ)证明:
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
>3n
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lim
x→1
(
a
x-1
-
b
x2-1
)=
1
2
,则常数a,b的值分别为______.
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函数f(x)=alnx+
1
2
x2-(a+1)x
在x=1处取到极大值的充要条件是______.
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