已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求limn→∞anSn；（Ⅱ）证明：a112+a222+…+ann2＞3n．

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已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求limn→∞anSn；（Ⅱ）证明：a112+a222+…+ann2＞3n．

题型：不详难度：来源：
已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）•3n．
（Ⅰ）求
lim
n→∞
an
Sn
；（Ⅱ）证明：
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
＞3n．
答案
（1）
lim
n→∞
an
Sn
=
lim
n→∞
Sn-Sn-1
Sn
=
lim
n→∞
(1-
Sn-1
Sn
)=1-
lim
n→∞
Sn-1
Sn
lim
n→∞
Sn-1
Sn
=
lim
n→∞
n-1
n+1
•
1
3
=
1
3
，所以
lim
n→∞
an
Sn
=
2
3
（6分）
（2）当n=1时，
a1
12
=S1=6＞3；
当n＞1时，
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
=
S1
12
+
S2-S1
22
+…+
Sn-Sn-1
n2

=(
1
12
-
1
22
) S1 +(
1
22
-
1
32
) S2 +…+(
1
(n-1)2
-
1
n2
)Sn-1+
1
n2
Sn＞
1
n2
Sn=
n2+n
n2
•3n＞3n
所以，n≥1时，
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
＞3n．（12分）
举一反三
若
lim
x→1
(
a
x-1
-
b
x2-1
)=
1
2
，则常数a，b的值分别为______．
题型：不详难度：| 查看答案
函数f(x)=alnx+
1
2
x2-(a+1)x在x=1处取到极大值的充要条件是______．
题型：不详难度：| 查看答案
已知函数f(x)=
ax
x2+b
在x=1处取得极值2，问函数f（x）是否还有其它的极值？若有，求出所有极值，若没有，请说明理由．
题型：不详难度：| 查看答案
若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x2，g（x）=2elnx．
（I）求F（x）=f（x）-g（x）的极值；
（II）函数f（x）和g（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的方程，若不存在，请说明理由．
题型：昆明模拟难度：| 查看答案
已知函数f(x)=
ax
x2+b
，在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）m满足什么条件时，区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间？
（Ⅲ）设直线l为曲线f(x)=
ax
x2+b
的切线，求直线l的斜率的取值范围．
题型：不详难度：| 查看答案
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