已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n)•3n.(Ⅰ)求limn→∞anSn;(Ⅱ)证明:a112+a222+…+ann2>3n.

已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n)•3n.(Ⅰ)求limn→∞anSn;(Ⅱ)证明:a112+a222+…+ann2>3n.

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n)•3n
(Ⅰ)求
lim
n→∞
an
Sn
;(Ⅱ)证明:
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
>3n
答案
(1)
lim
n→∞
an
Sn
=
lim
n→∞
Sn-Sn-1
Sn
=
lim
n→∞
(1-
Sn-1
Sn
)=1-
lim
n→∞
Sn-1
Sn
lim
n→∞
Sn-1
Sn
=
lim
n→∞
n-1
n+1
1
3
=
1
3
,所以
lim
n→∞
an
Sn
=
2
3
(6分)
(2)当n=1时,
a1
12
=S1=6>3

当n>1时,
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
=
S1
12
+
S2-S1
22
+…+
Sn-Sn-1
n2

=(
1
12
-
1
22
S1 +(
1
22
-
1
32
S2 +…+(
1
(n-1)2
-
1
n2
)Sn-1+
1
n2
Sn
1
n2
Sn
=
n2+n
n2
3n3n

所以,n≥1时,
a1
12
+
a2
22
+…+
an
n2
3n
.(12分)
举一反三
lim
x→1
(
a
x-1
-
b
x2-1
)=
1
2
,则常数a,b的值分别为______.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=alnx+
1
2
x2-(a+1)x
在x=1处取到极大值的充要条件是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
ax
x2+b
在x=1处取得极值2,问函数f(x)是否还有其它的极值?若有,求出所有极值,若没有,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
若存在常数k和b,使得函数f(x)和g(x)在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,则称直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的“隔离直线”.已知f(x)=x2,g(x)=2elnx.
(I)求F(x)=f(x)-g(x)的极值;
(II)函数f(x)和g(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线的方程,若不存在,请说明理由.
题型:昆明模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
ax
x2+b
,在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)m满足什么条件时,区间(m,2m+1)为函数f(x)的单调增区间?
(Ⅲ)设直线l为曲线f(x)=
ax
x2+b
的切线,求直线l的斜率的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
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