已知函数f(x)=axx2+b，在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）m满足什么条件时，区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间？（Ⅲ

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已知函数f(x)=axx2+b，在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）m满足什么条件时，区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间？（Ⅲ

题型：不详难度：来源：
已知函数f(x)=
ax
x2+b
，在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）m满足什么条件时，区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间？
（Ⅲ）设直线l为曲线f(x)=
ax
x2+b
的切线，求直线l的斜率的取值范围．
答案
（Ⅰ）已知函数f（x）=
ax
x2+b
，∴f′(x)=
a(x2+b)-ax(2x)
(x2+b)2
．
又函数f（x）在x=1处取得极值2，∴





f′(1)=0
f(1)=2
即





a(1+b)-2a=0
a
1+b
=2
⇒





a=4
b=1.

当a=4，b=1，∴f′(x)=
4(x2+1)-4x(2x)
(x2+1)2
=
4(1-x2)
(x2+1)2
，
当-1＜x＜1时，f"（x）＞0，x＞1时，f"（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极值．∴f(x)=
4x
x2+1
．
（Ⅱ）由f′(x)=
4(x2+1)-4x(2x)
(x2+1)2
=0⇒x=±1．
举一反三
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x（-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）
f"（x）-0+0-
f（x）↘极小值-2↗极大值2↘
已知函数f（x）=-
1
3
（2e1-x+ex-1+3x2-8x+8 ），则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是 ______．
曲线y=e-x+1在x=0处的切线方程为______．
已知曲线f(x)=
1
2
x2-3上一点P(1，-
5
2
)，则过点P的切线的斜率为（　　）
A．1B．-1C．2D．-2
已知曲线y=
x2
4
的一条切线的斜率为
1
2
，则切点的横坐标为______．
设曲线y=
1
x-1
在点（2，1）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）
A．-2B．
1
2
C．-
1
2
D．-1