已知函数f(x)=axx2+b,在x=1处取得极值2.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)m满足什么条件时,区间(m,2m+1)为函数f(x)的单调增区间?(Ⅲ
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已知函数f(x)=axx2+b,在x=1处取得极值2.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)m满足什么条件时,区间(m,2m+1)为函数f(x)的单调增区间?(Ⅲ
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
ax
x
2
+b
,在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)m满足什么条件时,区间(m,2m+1)为函数f(x)的单调增区间?
(Ⅲ)设直线l为曲线
f(x)=
ax
x
2
+b
的切线,求直线l的斜率的取值范围.
答案
(Ⅰ)已知函数f(x)=
ax
x
2
+b
,∴
f′(x)=
a(
x
2
+b)-ax(2x)
(
x
2
+b)
2
.
又函数f(x)在x=1处取得极值2,∴
f′(1)=0
f(1)=2
即
a(1+b)-2a=0
a
1+b
=2
⇒
a=4
b=1.
当a=4,b=1,∴
f′(x)=
4(
x
2
+1)-4x(2x)
(
x
2
+1)
2
=
4(1-
x
2
)
(
x
2
+1)
2
,
当-1<x<1时,f"(x)>0,x>1时,f"(x)<0,∴f(x)在x=1处取得极值.∴
f(x)=
4x
x
2
+1
.
(Ⅱ)由
f′(x)=
4(
x
2
+1)-4x(2x)
(
x
2
+1)
2
=0⇒x=±1
.
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f"(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
极小值-2
↗
极大值2
↘
举一反三
已知函数f(x)=
-
1
3
(2e
1-x
+e
x-1
+3x
2
-8x+8 ),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 ______.
题型:不详
难度:
|
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曲线y=e
-x
+1在x=0处的切线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知曲线
f(x)=
1
2
x
2
-3
上一点P
(1,-
5
2
)
,则过点P的切线的斜率为( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
题型:不详
难度:
|
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已知曲线
y=
x
2
4
的一条切线的斜率为
1
2
,则切点的横坐标为______.
题型:不详
难度:
|
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设曲线
y=
1
x-1
在点(2,1)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( )
A.-2
B.
1
2
C.
-
1
2
D.-1
题型:不详
难度:
|
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