已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,g(x)=lnxx,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数),(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;(
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已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,g(x)=lnxx,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数),(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;(
题型:不详
难度:
来源:
已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,
g(x)=
lnx
x
,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数),
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;
(2)在(1)的条件下,求证:
f(x)>g(x)+
1
2
;
(3)是否存在实数a,使得f(x)的最小值为3.若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
答案
(1)
f
′
(x)=1-
1
x
=
x-1
x
,
∵x∈(0,e],
由
f
′
(x)=
x-1
x
>0,得1<x<e,
∴增区间(1,e).
由
f
′
(x)=
x-1
x
<0,得0<x<1.
∴减区间(0,1).
故减区间(0,1);增区间(1,e).
所以,f(x)极小值=f(1)=1.
(2)由(1)知f(x)=x-lnx在(0,e]上的最小值为f(1)=1,
∵g(x)=
lnx
x
,
∴
g
′
(x)=
1-lnx
x
2
,
由
g
′
(x)=
1-lnx
x
2
>0,
解得0<x≤e,
∴g(x)在 (0,e]上为增函数,
∴g(x)
max
=g(e)=
1
e
,
∵1>
1
2
+
1
e
,
∴f(x)>g(x)+
1
2
.
(3)
f
′
(x)=a-
1
x
=
ax-1
x
,
①当a≤0时,f(x)在(0,e)上是减函数,
∴ae-1=3,a=
4
e
>0
.
②当
0<a<
1
e
时,f(x)=
1
e
,f(x)在(0,e]上是减函数,
∴ae-1=3,a=
4
e
>
1
e
.
③当
a≥
1
e
时,f(x)在
(0,
1
a
]
上是减函数,
(
1
a
,e)
是增函数,
∴
a
1
a
-ln
1
a
=3
,a=e
2
,
所以存在a=e
2
.
举一反三
下列命题中,正确的是( )
①数列
{
(-1)
n
•
3
}
没有极限;
②数列
{
(-1)
n
•
2
n
}
的极限为0;
③数列
{
3
+
(-
3
2
)
n
}
的极限为
3
;
④数列
{
2
n
(
3
)
n
}
没有极限.
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②③④
题型:不详
难度:
|
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已知定义在正实数集上的函数
f(x)=
1
2
x
2
+2ax
,g(x)=3a
2
lnx+b,其中a>0,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用a表示b,并求b的最大值;
(II)求证:f(x)≥g(x)(x>0).
题型:不详
难度:
|
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曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
1+lnx
x
(1)求函数f(x)的极值;
(2)如果当x≥1时,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围;
(3)求证[(n+1)!]
2
>(n+1)e
n-2
(n∈N
*
).
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=(x-1)
2
•
x
4
5
的极小值是______.
题型:不详
难度:
|
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