已知定义在正实数集上的函数f(x)=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．

题型：不详难度：来源：

已知定义在正实数集上的函数f(x)=

1

2

x2+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用a表示b，并求b的最大值；
（II）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）．

答案

（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同，
∵f′（x）=x+2a，g′(x)=

3a2

x

，
由题意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）

1 2 x02+2ax=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
由x0+2a=

3a2

x0

得x₀=a，x₀=-3a（舍去）即有b=

1

2

a2+2a2-3a2lna=

5

2

a2-3a2lna（3分）
令h(t)=

5

2

t2-3t2lnt(t＞0)，则h′（t）=2t（1-3lnt）
当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

时，h"（t）＞0；
当t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

时，h"（t）＜0．
故h（t）在(0，e

1

3

)为增函数，在(e

1

3

，+∞)为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h(e

1

3

)=

3

2

e

2

3

（6分）

（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)，
则F"（x）=x+2a-

3a2

x

=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)（10分）
故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，
于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x₀）=f（x₀）-g（x₀）=0．
故当x＞0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）（12分）