已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1,(a,b∈R)在(1,2)处的切线方程是y=4x-2,则函数y=f(x)的极大值为______.

已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1,(a,b∈R)在(1,2)处的切线方程是y=4x-2,则函数y=f(x)的极大值为______.

题型:宁波模拟难度:来源:
已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1,(a,b∈R)在(1,2)处的切线方程是y=4x-2,则函数y=f(x)的极大值为______.
答案
因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以f′(x)=3x2+2ax+b,
令x=1得f′(1)=3+2a+b.
由已知f′(1)=4,所以3+2a+b=4.即2a+b=1…①
又(1,2)是曲线f(x)=x3+ax2+bx+1上的点,得2=1+a+b+1,a+b=0…②.
解①②得.a=1,b=-1,
所以f(x)=x3+x2-x+1;
∴f′(x)=3x2+2x-1;
令f′(x)=0,即3x2+2x-1=0.解得x=-1,或x=
1
3

x∈(-∞,-1)函数是增函数,x∈(-1,
1
3
)时函数是减函数;x∈(
1
3
,+∞)
,函数是增函数,
所以x=-1时函数取得绝对值,
f(-1)=(-1)3+(-1)2-(-1)+1=2.
故答案为:2.
举一反三
已知函数f(x)=cos(x+θ),θ∈R,若
lim
x→0
f(π+x)-f(π)
x
=1,则函数f(x)的解析式为(  )
A.f(x)=-sinxB.f(x)=-cosxC.f(x)=sinxD.f(x)=cosx
题型:成都二模难度:| 查看答案
曲线y=x2+2x-1在点(1,2)处的切线方程是______.
题型:花都区模拟难度:| 查看答案
过抛物线x2=2y上两点A(-1,
1
2
)、B(2,2)分别作抛物线的切线,两条切线交于点M.
(1)求证:∠BAM=∠BMA;
(2)记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C,F1、F2为C的两个焦点,B1、B2为C的虚轴的两个端点,过点B2作直线PQ分别交C的两支于P、Q,当


PB1


QB1
∈(0,4]时,求直线PQ的斜率k的取值范围.
题型:成都二模难度:| 查看答案
曲线y=sinx在点(
π
3


3
2
)处的切线方程为 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
lim
n→∞
an2+bn
n+1
=2
,则a+b=______.
题型:闸北区二模难度:| 查看答案
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