已知函数f(x)=1(1+x)n+aln(x+1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)当a=1时,若b1,b2,…,bk均非
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已知函数f(x)=1(1+x)n+aln(x+1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)当a=1时,若b1,b2,…,bk均非
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
1
(1+x)
n
+aln(x+1)
,其中n∈N*,a为常数.
(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a=1时,若b
1
,b
2
,…,b
k
均非负数,且b
1
+b
2
+…+b
k
=1,求证:f(b
1
)+f(b
2
)+…+f(b
k
)≤k+1.
答案
(Ⅰ)由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>-1},
当n=2时,
f(x)=
1
(1+x)
2
+aln(x+1)
,
所以
f
′
(x)=
a
(1+x)
2
-2
(1+x)
3
.
(1)当a>0时,由f′(x)=0得
x
1
=-1+
2
a
>-1,
x
2
=-1-
2
a
<-1,
此时f′(x)=
a(x-
x
1
)(x-
x
2
)
(x+1)
3
.
当x∈(1,x
1
)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(x
1
+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
(2)当a≤0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)无极值.
综上所述,n=2时,
当a>0时,f(x)在
x=-1+
2
a
处取得极小值,极小值为
f(-1+
2
a
)=
a
2
(1+ln
2
a
).
当a≤0时,f(x)无极值.
(Ⅱ)先证明当x≥0时,f(x)≤x+1,只要设
g(x)=x+1-f(x),则
g
′
(x)=1+
n
(x+1)
n+1
-
1
x+1
=
x
x+1
+
n
(x+1)
n+1
>0(x≥0)
,
∴g(x)在[0,+∞)是增函数,
∴g(x)≥g(0)=0,得证;
而b
1
,b
2
,…,b
k
均非负数,且b
1
+b
2
+…+b
k
=1,所以f(b
1
)+f(b
2
)+…+f(b
k
)≤k+1.
举一反三
定义在R上的可导函数y=f(x)在x=1处的切线方程是y=-x+2,则f(1)+f"(1)=( )
A.-1
B.
1
2
C.2
D.0
题型:不详
难度:
|
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已知曲线
y=
x
2
2
+lnx
的一条切线的斜率为2,则此切线方程为( )
A.2x+y+1=0
B.4x+2y-3=0
C.4x-2y-3=0
D.2x-y-1=0
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x•log
2
x+3(x>0),直线与函数f(x)相切于点A(1,m).则直线l的方程为______.(写成直线方程一般式)
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
2
-2x+lnx.
(Ⅰ)若f(x)无极值点,但其导函数f"(x)有零点,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(x)的极小值小于
-
3
2
.
题型:东莞二模
难度:
|
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设曲线
y=
1
2
a
x
2
在点
(1,
a
2
)
处的切线与直线2x-y-8=0平行,则a=______.
题型:不详
难度:
|
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