已知函数f(x)=1(1+x)n+aln(x+1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)当a=1时,若b1,b2,…,bk均非

已知函数f(x)=1(1+x)n+aln(x+1),其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(Ⅱ)当a=1时,若b1,b2,…,bk均非

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
1
(1+x)n
+aln(x+1)
,其中n∈N*,a为常数.
(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a=1时,若b1,b2,…,bk均非负数,且b1+b2+…+bk=1,求证:f(b1)+f(b2)+…+f(bk)≤k+1.
答案
(Ⅰ)由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>-1},
当n=2时,f(x)=
1
(1+x)2
+aln(x+1)

所以f(x)=
a(1+x)2-2
(1+x)3
.

(1)当a>0时,由f′(x)=0得x1=-1+


2
a
>-1,x2=-1-


2
a
<-1,
此时f′(x)=
a(x-x1)(x-x2)
(x+1)3

当x∈(1,x1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(x1+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

(2)当a≤0时,f′(x)<0恒成立,所以f(x)无极值.
综上所述,n=2时,
当a>0时,f(x)在x=-1+


2
a
处取得极小值,极小值为f(-1+


2
a
)=
a
2
(1+ln
2
a
).

当a≤0时,f(x)无极值.
(Ⅱ)先证明当x≥0时,f(x)≤x+1,只要设g(x)=x+1-f(x),则g(x)=1+
n
(x+1)n+1
-
1
x+1
=
x
x+1
+
n
(x+1)n+1
>0(x≥0)

∴g(x)在[0,+∞)是增函数,
∴g(x)≥g(0)=0,得证;
而b1,b2,…,bk均非负数,且b1+b2+…+bk=1,所以f(b1)+f(b2)+…+f(bk)≤k+1.
举一反三
定义在R上的可导函数y=f(x)在x=1处的切线方程是y=-x+2,则f(1)+f"(1)=(  )
A.-1B.
1
2
C.2D.0
题型:不详难度:| 查看答案
已知曲线y=
x2
2
+lnx
的一条切线的斜率为2,则此切线方程为(  )
A.2x+y+1=0B.4x+2y-3=0C.4x-2y-3=0D.2x-y-1=0
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x•log2x+3(x>0),直线与函数f(x)相切于点A(1,m).则直线l的方程为______.(写成直线方程一般式)
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax2-2x+lnx.
(Ⅰ)若f(x)无极值点,但其导函数f"(x)有零点,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(x)的极小值小于-
3
2
题型:东莞二模难度:| 查看答案
设曲线y=
1
2
ax2
在点(1,
a
2
)
处的切线与直线2x-y-8=0平行,则a=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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