已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).(Ⅰ)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)求f(x)在区间[0,2]
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已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a). (Ⅰ)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求f(x)在区间[0,2]上的最大值. |
答案
(I)f"(x)=3x2-2ax.因为f"(1)=3-2a=3,所以a=0. 又当a=0时,f(1)=1,f"(1)=3,则切点坐标(1,1),斜率为3 所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1)化简得3x-y-2=0. (II)令f"(x)=0,解得x1=0,x2=. 当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而fmax=f(2)=8-4a. 当≥2时,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而fmax=f(0)=0. 当0<<2,即0<a<3,f(x)在[0,]上单调递减,在[,2]上单调递增,从而fmax= 综上所述,fmax= |
举一反三
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R). (1)若函数f(x)在x=1或x=3处取得极值,试求a,b的值; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,5]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围. |
函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1时有极值10,那么a,b的值分别为______. |
函数f(x)=x3+x2-6x+m的图象不过第Ⅱ象限,则m的取值范围是 ______ |
曲线f(x)=在点(0,f(0))处的切线方程为______. |
已知函数f(x)=x3-7x+1. (1)求在x=-1处的切线方程; (2)求该切线与坐标轴所围成的三角形面积. |
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