已知函数f（x）=（x-1）-alnx（1）讨论函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=（x-1）-alnx
（1）讨论函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）f′(x)=1-=（x＞0）（1分）
当a≤0时，f"（x）＞0，在（0，+∞）上为增函数，无极值 （2分）
当a＞0时，f′(x)==0，x=a，（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数 （2分）
有极小值f（a）=（a-1）-alna，无极大值（1分）
（2）f′(x)=1-=
当a≤1时，f"（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，则f（x）是单调递增的，
则f（x）≥f（1）=0恒成立，则a≤1（13分）
当a＞1时，在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以x∈（1，a）时，f（x）≤f（1）=0这与f（x）≥0恒成立矛盾，故不成立（3分）
综上：a≤1 |
举一反三
设m∈R，函数f（x）=x3-mx在x=1处取得极值．求：
（Ⅰ）m的值；
（Ⅱ）函数y=f（x）在区间[-3， ]上的最大值和最小值． |
已知函数f（x）=mx3+nx2（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求m与n的关系式及f（x）的极大值；
（2）若函数y=f（x）在区间[n，m]上有最大值为m-n2，试求m的值． |
已知函数f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x+12a-4（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围． |
函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（Ⅰ）求此平行线的距离；
（Ⅱ）若存在x使不等式＞成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把|f（x0）-g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． |
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