已知函数f（x）=mx3+nx2（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．（1）求m与n的关系式及f（x）的极大值；（2）若函数
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已知函数f（x）=mx3+nx2（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）求m与n的关系式及f（x）的极大值；
（2）若函数y=f（x）在区间[n，m]上有最大值为m-n2，试求m的值． |
答案
（1）∵f′（x）=3mx2+2nx
由图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行，知f′（2）=0
∴n=-3m，m＞0 ①
令f′（x）=3mx2+2nx=3mx2-6mx=0
得x=0或x=2，
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数
∴x=0是f（x）的极大值点，x=2是极小值点．
∴极大值为f（0）=0；
（2）令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3
（I）当0＜m≤3时，f（x）max=f（0）=0，∴m-n2=0 ②
由①，②解得m=，符合前提0＜m≤3．
（II）当m＞3时，f（x）max=f（m）=m4+m2n
∴m4+m2n=m-n2 ③
由①，③得m3-3m2+9m-1=0，
∵m＞3时，m3-3m2+9m-1=m2（m-3）+9m-1＞0
∴m3-3m2+9m-1=0在（3，+∞）上无实数根．
综上讨论可知，m的值为m= |
举一反三
已知函数f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x+12a-4（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围． |
函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
（Ⅰ）求此平行线的距离；
（Ⅱ）若存在x使不等式＞成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把|f（x0）-g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． |
已知函数f（x）=aex和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，B，且以点A，B为切点的切线互相平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数F(x)=g(x)+，求函数F（x）的极值；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把|f（x0）-g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差，求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． |
| 已知函数f（x）=ex（x2+a），若x=-1为f（x）的极值点，则a的值为______． |
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