若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线的斜率为-1,有以下命题:(1)f(x)的解析式为:f(x)=x3

若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线的斜率为-1,有以下命题:(1)f(x)的解析式为:f(x)=x3

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若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线的斜率为-1,有以下命题:
(1)f(x)的解析式为:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]
(2)f(x)的极值点有且仅有一个
(3)f(x)的最大值与最小值之和等于零
其中假命题个数为(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案
函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象过原点,可得c=0;
又f′(x)=3x2+2ax+b,且f(x)在x=±1处的切线斜率均为-1,
则有





3+2a+b=-1
3-2a+b=-1
,解得a=0,b=-4.
所以f(x)=x3-4x,f′(x)=3x2-4.
(1)可见f(x)=x3-4x,因此(1)正确;
(2)令f′(x)=0,得x=±
2


3
3
.因此(2)不正确;
所以f(x)在[-
2


3
3
2


3
3
]内递减,
(3)f(x)的极大值为f(-
2


3
3
)=
16


3
9
,极小值为f(
2


3
3
)=-
16


3
9
,两端点处f(-2)=f(2)=0,
所以f(x)的最大值为M=
16


3
9
,最小值为m=-
16


3
9
,则M+m=0,因此(3)正确.
故选B.
举一反三
点P是曲线x2-y-lnx=0上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为(  )
A.1B.


3
2
C.


5
2
D.


2
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给出四个命题:
(1)函数在闭区间[a,b]上的极大值一定比极小值大
(2)函数在闭区间[a,b]上的最大值一定是极大值
(3)对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<


6
,则f(x)无极值
(4)函数f(x)在区间(a,b)上一定不存在最值
其中正确命题的个数是(  )
A.0B.1C.2D.3
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设点P是曲线y=x3-


3
x+
2
3
上的任意一点,P点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是(  )
A.[
3
,π)
B.(
π
2
3
]
C.[0,
π
2
)∪[
3
,π)
D.[0,
π
2
)∪[
6
,π)
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曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x,则点P0的坐标是(  )
A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,-4)或(1,0)D.(-1,-4)
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函数f(x)=
1
3
x3-2x2-5x+1
的极大值是(  )
A.-
17
3
B.1C.
4
3
D.
11
3
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