若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线的斜率为-1,有以下命题:(1)f(x)的解析式为:f(x)=x3
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若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线的斜率为-1,有以下命题:(1)f(x)的解析式为:f(x)=x3
题型:不详
难度:
来源:
若函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线的斜率为-1,有以下命题:
(1)f(x)的解析式为:f(x)=x
3
-4x,x∈[-2,2]
(2)f(x)的极值点有且仅有一个
(3)f(x)的最大值与最小值之和等于零
其中假命题个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c的图象过原点,可得c=0;
又f′(x)=3x
2
+2ax+b,且f(x)在x=±1处的切线斜率均为-1,
则有
3+2a+b=-1
3-2a+b=-1
,解得a=0,b=-4.
所以f(x)=x
3
-4x,f′(x)=3x
2
-4.
(1)可见f(x)=x
3
-4x,因此(1)正确;
(2)令f′(x)=0,得x=±
2
3
3
.因此(2)不正确;
所以f(x)在[-
2
3
3
,
2
3
3
]内递减,
(3)f(x)的极大值为f(-
2
3
3
)=
16
3
9
,极小值为f(
2
3
3
)=-
16
3
9
,两端点处f(-2)=f(2)=0,
所以f(x)的最大值为M=
16
3
9
,最小值为m=-
16
3
9
,则M+m=0,因此(3)正确.
故选B.
举一反三
点P是曲线x
2
-y-lnx=0上的任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( )
A.1
B.
3
2
C.
5
2
D.
2
题型:不详
难度:
|
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给出四个命题:
(1)函数在闭区间[a,b]上的极大值一定比极小值大
(2)函数在闭区间[a,b]上的最大值一定是极大值
(3)对于f(x)=x
3
+px
2
+2x+1,若
|p|<
6
,则f(x)无极值
(4)函数f(x)在区间(a,b)上一定不存在最值
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
难度:
|
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设点P是曲线
y=
x
3
-
3
x+
2
3
上的任意一点,P点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是( )
A.
[
2π
3
,π)
B.
(
π
2
,
2π
3
]
C.
[0,
π
2
)∪[
2π
3
,π)
D.
[0,
π
2
)∪[
5π
6
,π)
题型:不详
难度:
|
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曲线y=x
3
+x-2在点P
0
处的切线平行于直线y=4x,则点P
0
的坐标是( )
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(-1,-4)或(1,0)
D.(-1,-4)
题型:不详
难度:
|
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函数
f(x)=
1
3
x
3
-2
x
2
-5x+1
的极大值是( )
A.-
17
3
B.1
C.
4
3
D.
11
3
题型:不详
难度:
|
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