已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex,t∈R.(1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c(a<b<c)处取到极值.①求t的取值范围;②若a
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex,t∈R. (1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c(a<b<c)处取到极值. ①求t的取值范围; ②若a+c=2b2,求t的值. (2)若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立.求正整数m的最大值. |
答案
(1)①f"(x)=(3x2-12x+3)ex+(x3-6x2+3x+t)ex=(x3-3x2-9x+t+3)ex ∵f(x)有3个极值点, ∴x3-3x2-9x+t+3=0有3个根a,b,c. 令g(x)=x3-3x2-9x+t+3,g"(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上递增,(-1,3)上递减. ∵g(x)有3个零点∴∴-8<t<24. ②∵a,b,c是f(x)的三个极值点, ∴x3-3x2-9x+t+3=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc ∴ | a+b+c=3 | ab+ac+bc=-9 | t+3=-abc |
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∴b=1或-(舍∵b∈(-1,3)) ∴∴t=8
(2)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe-x-x3+6x2-3x. 转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m], 不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立. 即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1,m]上恒成立. 即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1,m]上恒成立. 设φ(x)=e-x-x2+6x-3,则φ"(x)=-e-x-2x+6. 设r(x)=φ"(x)=-e-x-2x+6,则r"(x)=e-x-2,因为1≤x≤m,有r"(x)<0. 故r(x)在区间[1,m]上是减函数. 又r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0 故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ"(x0)=0. 当1≤x<x0时,有φ"(x)>0,当x>x0时,有φ"(x)<0. 从而y=φ(x)在区间[1,x0]上递增,在区间[x0,+∞)上递减. 又φ(1)=e-1+4>0,φ(2)=e-2+5>0,φ(3)=e-3+6>0,φ(4)=e-4+5>0,φ(5)=e-5+2>0,φ(6)=e-6-3<0. 所以当1≤x≤5时,恒有φ(x)>0; 当x≥6时,恒有φ(x)<0; 故使命题成立的正整数m的最大值为5. |
举一反三
曲线y=x3-2x在点(1,-1)处的切线方程是______. |
函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)=3x2+2xf′(2)在开区间f′(5)=内的极值点有______个. |
对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{}的前n项和的公式是 ______. |
曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线方程是______. |
已知抛物线y=ax2+bx+9在点(2,-1)处的切线的斜率为1,求a,b的值. |
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